Cours en nombres et calculs pour la 9eme Harmos sur développer et factoriser une expression littérale.
- Développer une expression littérale :
Définition : Développer une expression littérale, c’est transformer un produit en une somme ou une différence.
Pour développer une expression littérale, je peux utiliser la distributivité !
Propriété : Soit a, b et k, 3 nombres positifs. Je peux développer une expression en distribuant le facteur à chacun des termes entre parenthèses :
k × (a + b) = k × a + k × b k × (a – b) = k × a – k × b
Exemple : On veut développer l’expression A = 3 × (x + 2).
A = 3 × (x + 2) C’est le produit de 3 par (x + 2).
A = 3 × x + 3 × 2 J’utilise la distributivité.
A = 3x + 6 Je réduis. Désormais A est la somme de 3x et de 6.
- Factoriser une expression littérale :
Définition : Factoriser une expression littérale, c’est transformer une somme ou une différence en un produit. C’est l’inverse du développement !
Méthode : Pour factoriser, on utilise la méthode du facteur commun.
Par exemple, on factorise l’expression A = 4x + 8 qui est la somme de 4x et de 8.
A = 4x + 8 Je repère le facteur commun aux 2 termes de la somme : 4.
A = 4 × x + 4 × 2 Je fais apparaitre ce facteur commun.
A = 4 × (x + 2) Je mets 4 en facteur et j’écris entre parenthèses les 2 autres facteurs.
A = 4(x + 2) Je réduis. Désormais A est le produit de 4 et de (x + 2).
Remarque : Pour s’assurer que l’on a bien factorisé, on peut développer le résultat (ce qui est généralement plus facile) et voir si l’on retombe bien sur la bonne expression ! Par exemple ici :
A = 4(x + 2)
A = 4 × x + 4 × 2
A = 4x + 8 et c’est donc bon !
- Illustration géométrique :
Il est possible d’illustrer la distributivité en calculant de 2 manières différentes l’aire du grand rectangle ci-contre.
| ❶ Calcul direct de l’aire
Longueur : a + b Largeur : k Aire : k × (a + b) |
❷ Calcul des 2 petites aires
Aire rectangle bleu : k × a Aire rectangle rouge : k × b Aire totale : k × a + k × b |
On a donc : k × (a + b) = k × a + k × b
